Программа метод рунге кутты 3 порядка с

Краткая информация:
Имя файлаИмя файла: Программа метод рунге кутты 3 порядка с
ПопулярностьРейтинг: Звезда
ПользовательАвтор: steepsofttec
ДатаОбновлено: Вчера
КатегорияКатегория: Свежее
ИнформацияПросмотров: 953
Количество скачиванийЗагрузок: 112
БлагодарностиСказали спасибо: sof3384, quatro-suz, pantera-diabola, annabelle2
Проверено антивирусамиПроверено: Norton Internet SecurityKaspersky Anti-VirusDr. WebESET NOD32

Метод Рунге — Кутты

Ме́тоды Ру́нге — Ку́тты (распространено неправильное название Ме́тоды Ру́нге — Ку́тта или же Ме́тоды Ру́нге — Кутта́ ) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой .

Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и исправленный метод Эйлера. они представляют собой схемы второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple. MathCAD. Maxima ) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков [1] [2]. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями [3]. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого порядка точности. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков [3] .


Подробнее о программе метод рунге кутты 3 порядка с

Содержание

Классический метод Рунге — Кутты четвёртого порядка Править

Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге — Кутты.

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:

Этот метод имеет четвёртый порядок точности. Это значит, что ошибка на одном порядке имеет порядок O ( h 5 ) )> . а суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O ( h 4 ) )> .

Прямые методы Рунге — Кутты Править

Семейство прямых порядков Рунге — Кутты является обобщением метода Рунге — Кутты четвёртого порядка. Оно задаётся формулами

где h — метода порядка сетки по x и вычисление нового значения проходит в s этапов:

Конкретный метод определяется числом s и порядками b i. a i j ,a_ > и c i > . Эти коэффициенты часто упорядочивают в методу (называемую таблицей Бутчера)

программе метод рунге кутты 3 порядка с

0 c 2 a 21 c 3 a 31 a 32 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ c s a s 1 a s 2 … a s s − 1 b 1 b 2 … b s − 1 b s 0&&&&&\\c_ &a_ &&&&\\c_ &a_ &a_ &&&\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &&\\c_ &a_ &a_ &\dots &a_ &\\\hline &b_ &b_ &\dots &b_ &b_ \end >>

Для коэффициентов метода Рунге — Кутты должны быть выполнены условия ∑ j = 1 i − 1 a i j = c i ^ a_ =c_ > для i = 2. …. s . Если требуется, чтобы метод имел порядок p . то следует также обеспечить условие

где y ¯ ( h + x 0 ) >>(h+x_ )> — приближение, полученное по методу Рунге — Кутты. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений относительно коэффициентов метода.

Неявные методы Рунге — Кутты Править

Все до сих пор упомянутые методы Рунге — Кутты являются явными методами. К сожалению, явные методы Рунге-Кутты, как правило, непригодны для решения жестких уравнений. из-за малой области абсолютной устойчивости. В частности, это описано в [4]. Неустойчивость метода создаёт наибольшие проблемы при решении дифференциальных уравнений в частных производных .

Нестабильность явных методов Рунге — Кутты мотивировало развитие неявных методов. Неявный метод Рунге — Кутты имеет вид

Явный метод характерен тем, что матрица коэффициентов a i j > для него имеет нижний треугольный вид, в отличие от неявного метода, где матрица имеет произвольный вид. Это также видно по таблице Бутчера.

c 1 a 11 a 12 … a 1 s c 2 a 21 a 22 … a 2 s ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ c s a s 1 a s 2 … a s s b 1 b 2 … b s = c A b T c_ &a_ &a_ &\dots &a_ \\c_ &a_ &a_ &\dots &a_ \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_ &a_ &a_ &\dots &a_ \\\hline &b_ &b_ &\dots &b_ \\\end >= \mathbf &A\\\hline &\mathbf > \\\end >>

Следствием этого различия является необходимость на каждом шагу решать систему уравнений для k i. i = 1. 2. s ,i=1,2. s> . где s число стадий. Это увеличивает вычислительные затраты, однако при достаточно малом h эту систему можно представить в виде сжимающего отображения и решать методом простой итерации [6]. В случае одной итерации это увеличивает вычислительные затраты всего лишь в два раза.

С другой стороны, Ж. Кунцман (1961) и Дж. Бутчер (1964) показали, что при любом количестве стадий s существует неявный метод с порядком точности p = 2 s . Это значит, что для описанного выше явного четырехстадийного метода четвёртого порядка существует неявный аналог с вдвое большим порядком точности.

Неявный метод Рунге—Кутты второго порядка Править

Простейшим неявным методом Рунге—Кутты является модифицированный метод Эйлера «с пересчетом». Он задаётся формулой:

Для его реализации на каждом шаге необходимы как минимум две итерации (и два вычисления функции).

y n + 1 = y n + h f ( x n. y n ) + f ( x n + 1. y

Вторая формула — это простая итерация решения системы уравнений относительно y n + 1 >_ > . записанной в форме сжимающего отображения. Для повышения точности итерацию-коррекцию можно сделать несколько раз, подставляя y

Утилита метод рунге кутты 3 режима с

Случайные статьи: